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不 可能 だ という 点 に 目 を つぶれ ば

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この不連続性にとっては f x 0 の値が何であるかということは影響しない(しかし、 x 0 において左連続あるいは右連続のいずれかであるようにすることはできる)。 なお、複素数変数の関数では、これらの用語の意味は異なる。 除去可能不連続点と跳躍不連続点とを総称して 第一種不連続点 discontinuity of the first kind と呼ぶ(除去可能不連続点は跳びが 0 の跳躍不連続点と思える)。 これに対して 第二種不連続点 discontinuity of the second kind とは、片側極限の一方が存在しない場合(真性不連続点)をいう。 「除去可能な不連続性(点)」という言葉が、 x 0 の左右両側からの極限が有限確定で相等しいが、函数は x 0 で定義されないというような場合に誤って用いられることがある。 しかし函数の性および不連続性の概念は、函数の定義域に属する点に対してのみ定義されるものであるから、このような用法は不適切である。 このような不定点は正確にはである。 例 [ ] 例 3: 真性不連続性 3. 真性不連続点であるためには、極限のどちらか一方が存在しないか無限大であればよい。 なお、この例の関数を複素数変数に拡張しても、その不連続性は真性不連続性である。

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【錯視アート】方程式が導き出す魔法の立体。数学の道はモノづくりへと続く:朝日新聞デジタル

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この項目では、のロトカ・ヴォルテラの方程式について説明しています。 については「」を、の楽曲、シングルについては「」をご覧ください。 ロトカ・ヴォルテラの競争方程式(ロトカ・ヴォルテラのきょうそうほうていしき)は、にある生物の個体数の変動を表すの一種である。 2つの種AとBが食料や生息場所などを巡って競争するとき、種Aの存在は、種Bの繁殖を阻害する。 種Aにとっても、種Bの存在は繁殖を邪魔する。 このような、お互いの存在がそれぞれの個体数増殖に相互にマイナスの影響を与える点を含め、2種の個体数の時間変化を表したモデルがロトカ・ヴォルテラの競争方程式である。 名称はとに由来する。 競争方程式以外に 競争式や 競争系、 競争モデル、単に ロトカ・ヴォルテラ方程式などとも呼ばれる。 英語では Lotka-Volterra competition model や Lotka-Volterra equations などと呼ばれる。 導出 [ ] モデルを導出する過程には様々なものがあるが、典型的にはロトカ・ヴォルテラの競争方程式はの拡張として導入できる。 簡単な状況から始めるために、2種ではなく、他の種とを持たない1種のみが環境内に存在する場合を考える。 種が1つであっても、各個体は限られた資源(食料や生息場所)を競い合う。 そのため、個体数が増えるほど個体数増加は落ち着いていき、ある程度の個体数で飽和すると考えられる。 r はと呼ばれる、 K はと呼ばれる正のである。 ここにもう一種が加わり、元からいた種と限られた資源を巡って競争する状況が考えられる。 それぞれの種を「種1」「種2」と呼ぶとする。 種1の存在は、種2の繁殖を阻害する。 種1にとっても、種2の存在は繁殖を邪魔する。 このように、にある2つの種が存在するとき、お互いの存在がそれぞれの個体数増殖に相互にマイナスの影響を与える。 この点を含め、2種の個体数の時間変化を表したモデルがロトカ・ヴォルテラの競争方程式である。 同じように、他方の種の個体数が多いほど、一方の種の個体数増加率は抑制されると考えられる。 ここで、 N 1, N 2 は種1と2のそれぞれの個体数である。 このようなモデリングによって、種1と種2についてのロトカ・ヴォルテラの競争方程式は、以下のような2変数の連立常微分方程式で表される。 解の振る舞い [ ] アイソクライン [ ] 「」も参照 ロトカ・ヴォルテラの競争方程式の陽な解は求まっていない。 アイソクライン法によって解の大域的な振る舞いを知ることができる。 1番目は N 2 軸と一致する直線である。 2番目は N 1 軸と一致する直線である。 これらの直線を境界にして、それぞれの個体数増加率の正負が切り替わる。 現実の生物個体数は正の値であるから、特に関係するのは3番目と4番目の直線である。 そのため、このアイソクライン直線を 傾き無限大のアイソクラインと呼ぶ。 そのため、このアイソクライン直線を 傾き0のアイソクラインと呼ぶ。 すなわち、 N 1- N 2相平面上の点(各個体数)がアイソクライン直線の内側、外側、あるいは直線上にあるかどうかに注目すれば、個体数増加率の値そのものは不明でも、個体数増加率の正負は知ることができる。 直線3の場合は• 1 種2は絶滅して種1が残る。 種1の個体数は K 1 の値に収束する。 2 種1は絶滅して種2が残る。 種2の個体数は K 2 の値に収束する。 3 種2は絶滅して種1が残るか、種1は絶滅して種2が残るか、初期の個体数によってどちらかの結果となる。 個体数は K 1 または K 2 の値に収束する。 4 種1と種2が共存して残る。 4つの場合における解曲線の例 1 のとき 2 のとき 3 のとき 4 のとき 競争排除則 [ ] 詳細は「」を参照 モデルから得られた結果は、 1 , 2 , 3 のケースでは片方の種はもう一方の種によって排除されるということであった。 この結果は多くの場合に共存は不可能ということを示唆している。 ロシアの生態学者は、ロトカ・ヴォルテラの競争方程式が示す種間の排他性の存在をやを用いた実験で確認した。 この結果をもとにガウゼは、同じにある複数の種は平衡状態で長期的に共存できないという原則を提唱し、今日ではと呼ばれる。 名称 [ ] 名称については、競争方程式以外に、 競争式や 競争系、 競争モデルなどとも呼ばれる。 表記揺れとしてヴォルテラではなく ボルテラとも記される。 他にロトカとヴォルテラの名を冠した生物の個体数のモデルとして、がある。 こちらは競争関係ではなく捕食・被食関係にある2種の個体数変動を表すモデルである。 ただし、本記事で説明してきた競争関係を表すモデル(方程式)についても単に「ロトカ・ヴォルテラの方程式」と呼ぶことも多い。 ロトカ・ヴォルテラの競争方程式はアメリカの数学者とイタリアの数学者に由来する。 方程式の初出として、ロトカの1925年の著作、ヴォルテラの1926年あるいは1931年の論文・著作がしばし引用される。 一方で、科学技術史研究者のシャロン・キングスランドは、ロトカは捕食・被食モデルの方には重点的に取り組んでいたものの、競争モデルへの関心は比較的薄く、競争モデル自体の論文を提出したのは1932年の1つだけであることを指摘している。 それに対してヴォルテラは競争モデルに積極的に取り組み、ゲオルギー・ガウゼはヴォルテラの結論を前述のように実験的に検証した。 そのためキングスランドは、が呼んでいたように、 Volterra-Gause equations(ヴォルテラ・ガウゼの方程式)と呼ぶ方がより正確だろうと述べている。 脚注 [ ]• 76—77. , p. 133. 浅川伸一. 2016年8月10日閲覧。 , p. 175. 130. , p. , p. , p. , pp. 65—66. 249. 134—135. , p. , p. 134. , p. , p. , pp. 249—250. , p. , p. , p. , p. , p. , p. , pp. 78—80. , p. , p. , pp. 132—133. PNAS 112 31 : 9493—9495. , pp. 65, 96, 98. Gause, G. 1932. Journal of Experimental Biology The Company of Biologists Ltd 9 4 : 389-402. 参照文献 [ ]• 重定南奈子、日本数理生物学会(編)、1993、「第1章 数理生態学」、『生命・生物科学の数理』、岩波書店〈岩波講座 応用数学 4 [対象 8]〉 pp. 1—26• 日本数理生物学会(編)、瀬野裕美(責任編集)、2008、『「数」の数理生物学』初版、 共立出版〈シリーズ 数理生物学要論 巻1〉• ジェームス・D・マレー、三村昌泰(総監修)、瀬野裕美・河内一樹・中口悦史・三浦岳(監修)、勝瀬一登・吉田雄紀・青木修一郎・宮嶋望・半田剛久・山下博司(訳)、2014、『マレー数理生物学入門』初版、 丸善出版• 寺本英、川崎廣吉・重定南奈子・中島久男・東正彦・山村則男(編)、1997、『数理生態学』初版、 朝倉書店• 大串隆之、2014、「3章 昆虫の個体群と群集」、『昆虫生態学』初版、 朝倉書店 pp. 49—98• 巌佐庸、日本生態学会(編)、巌佐庸・舘田英典(担当編集委員)、2015、「第3章 競争と共存」、『集団生物学』初版、 共立出版〈シリーズ 現代の生態学 1〉• ハーバーマン、稲垣宣生(訳)、1992、『生態系の微分方程式』初版、 現代数学社• 日本生態学会(編)、2004、『生態学入門』初版、 東京化学同人• Jonathan W. Silvertown、河野昭一・高田壮典・大原雅(訳)、1992、『植物の個体群生体学 第2版』初版、 東海大学出版会• 北原武(編)、2003、『水産資源管理学』、成山堂書店 外部リンク [ ] ウィキメディア・コモンズには、 に関連するカテゴリがあります。 法則の辞典『』 -.

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