ベクトル 微分。 大学物理のフットノート

ベクトル・行列を含む微分

ベクトル 微分

記号の定義 以下の記号で統一的に定義しておく。 ベクトルは原則として列ベクトル表示を標準とする。 1 2 3 4 5 6 ベクトル・行列をスカラーで微分 これらは素直にベクトル・行列の要素を微分すればよい。 7 8 スカラーをベクトルで微分 スカラーを のベクトルで微分すると、同じ次数のベクトルになる。 9 これは便宜的に以下のように考えるとよい。 10 スカラーを行列で微分 スカラーを の行列で微分すると、同じ次元・次数の行列になる。 11 これは便宜的に以下のように考えるとよい。 12 ベクトルをベクトルで微分 この場合、微分する変数側を行ベクトルとするか、微分される関数側を行ベクトルとするか2通りの表現があるが、ここでは変数側を行ベクトルとする。 13 これは便宜的に以下のように考えるとよい。 14 公式 一般形 単位行列 ベクトルを同じベクトルで微分すると、単位ベクトルではなく単位行列になる。 15 合成関数 スカラーの合成関数と似ているが、イメージと積の順番が逆で、この順番は変えられない。 16 これは以下のように確認できる。 17 積の微分 行列の積のスカラーによる微分 18 これは素直に次のように確認できる。 23 [証明] 24 25 投稿ナビゲーション.

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「ベクトルで微分・行列で微分」公式まとめ

ベクトル 微分

ベクトルの微分の定義 スカラを返す関数 において、ベクトル での微分係数は以下のように定義されます。 ベクトル , に対して、 ですから、式 1 の定義と、の式 5 より、 となることがわかります。 で微分すれば、その係数 のみ残りますので、解はk番目の成分が のベクトル、つまり になります。 2次形式の微分 次に2次形式 の微分を考えます。 はスカラになりますから、微分は式 1 の定義に従えばよいです。 行列Aを とすれば、 となりますから、 です。 ここでk番目の成分 での微分を考えると、積の微分公式より となります。 よって、 となります。 今回の式 2 、 8 は最小二乗法の解の導出に使用します。 関連:、 opabinia2.

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数学勉強ノート(偏微分と全微分)〜〜関数解析と多様体へ向けた微分の復習〜〜

ベクトル 微分

ここでは基底ベクトルの微分について、座標ごとにまとめました。 極座標の基底ベクトルの微分です。 極座標の運動方程式の導出にも使います。 極座標では物体の運動とともに軸や基底ベクトルが回転します。 なので基底ベクトルの時間微分 も考えなければなりません。 図1 極座標 今回は図を使って幾何的に証明する方法と、成分表示を利用する方法の 二つを紹介します。 導出 幾何的な方法 まず、基底ベクトルの微分を定義通りに書いてみます。 下図のような単位円を考える。 続いて、再び同じように下図のような単位円を考える。 上の図では少し見づらいので、ふたつのベクトルを平行移動させた 図を以下に示す。 加えて、図のように二つの基底の法線方向の直線を考える。 おそらくこちらはそう使うことはないと思います。 この式よりも、以下の公式の方が重要です。 球面座標の場合その2 球面座標の基底ベクトルの微分は以下の関係を持つ。 導出 ここでは基底をデカルト座標による成分表示を利用して導出をします。 これらを順番に微分していく。

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